複素 フーリエ 級数 例題。 複素フーリエ級数展開!

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高校でも習う「三角関数の合成公式」が表しているもの ,そのものだ. 概要 今までの「フーリエ級数展開」は「実形式(実フーリエ級数展開)」と呼ばれものであったが、三角関数を使用せず「複素数の指数関数」を使用する形式を「複素形式」の「フーリエ級数展開」または「複素フーリエ級数展開」という。

list-angle-double-right li::before,. 二つの指数関数を同じ形にしてまとめたいがために ,和の記号の の範囲を変えて から への和を取るように変更したのである. そのために , などという記号が一時的に導入されているが ,ここでの は負なので実質は や と変わらない. とりあえず展開係数を として展開しておこう。

実用面では、複素フーリエ係数の求め方もマスターしておきたい。

やらない夫 やけに説明的な台詞ありがとう. やる夫 どういたしましてだお. やらない夫 フーリエ級数展開の と の項の間の関係もこれと同じなんだ. 展開したい関数 が実数値を取るとしよう.するとそれぞれの周波数成分もやっぱり実関数になってくれないと困るわけだ.だから, と が足し合わされて,さっきと同様に虚数部分が打ち消されるようになっている.そう考えると と がどういう値じゃなくちゃならないかが見えてくるだろ.ちなみに も も一般に複素数だということに注意しとこう. やる夫 ええと, とかの絶対値は螺旋が回転するときの半径なわけだお.少なくとも回転する半径は一致してないと打ち消せないお.だから, は必要だお. やらない夫 そうだ.でもそれだけじゃダメだ.偏角についても条件がある. やる夫 の偏角って…どういう意味になるのかお? やらない夫 に を代入したときの値が だろ.つまり時刻 0 における螺旋の初期位置が だ. やる夫 ええと,同じ半径で,同じ角速度で,逆向きに回転する 2 つの螺旋があって,それらの虚数部分が常に打ち消し合うためには…,ああ,初期位置が共役の関係にあればいいんだお.だから, の偏角と の偏角は同じ大きさで符号が逆,つまり だお. やらない夫 そういうことだ.結局, が実数の場合は, の だけわかれば の方も定まってしまうんだな. やる夫 単に,虚数部分を打ち消すためのトリックとしてだけ存在するってことかお? 同じ波長の と を足し合わせるだけで位相がスライドした波を表せることをすっかり忘れていた. の実フーリエ級数展開とは異なる(三角関数を使用せず、複素数の指数関数を使用した)結果となった。

とても単純な形にまとまってしまった・・・ !しかも一番最初の定数項まで同じ形の中に取り込むことに成功している. 例えば微分することを考えてみると ,三角関数は微分するたびに と がクルクル変わって整理がややこしいが ,指数関数は形が変わらないので気にせず一気に目的を果たせたりする. この指数関数の組を用いて、周期 をもつ を展開することができそうである。

fab-exclamation-circle::before,. list-chevron-right li::before,. さらに、複素関数で展開することにより、 展開される周期関数が複素関数でも扱えるようになった。

やらない夫 2乗したものが応用上重要になることもあるんだ.まあ当面は,そういう名前なんだと思っておけばいい.. 関数 の形の中に 関数や 関数に似た形が含まれる場合 ,それに対応する係数が大きめに出ることはすでに話した. list-times-circle-o li::before,. フーリエ級数は 関数と 関数ばかりで出来ていたから ,この公式を使えば全てを指数関数を使った形に書き換えられそうである. 08em solid eee;border-radius:. 複素指数関数型のフーリエ級数 やる夫 前回,周期的な信号をたくさんの三角関数の足し合わせで表す方法を聞いたんだお.例えば 10 ms 周期の信号だったら,0 Hz,100 Hz,200 Hz, 300 Hz …のサイン波を適当な割合で重ね合わせれば合成できたんだお. やらない夫 おお,わかってるじゃないか. やる夫 よくわからないのは,cos と sin の両方が必要なことの意味だお.たくさんの音叉を鳴らして元の音を合成しようとしたら, 100 Hz の周波数成分に関しては, 100 Hz の cos の音叉と,100 Hz の sin の音叉が両方必要ってことかお? 複素関数で展開 ここでは複素フーリエ級数展開に至るまでの考え方をまとめておく。

高校では 関数で表すように合成することが多いが ,もちろん位相をずらすだけでどちらにでも表せる. 今回はひたすらに計算することばかりでしたが、 複素フーリエ級数はそんなに難しいことはなく、 三角関数と 虚数、そして オイラーの公式さえ頭に入っていれば、必ず解けます。

このとき、 「ある平面ベクトルが2つのベクトルの方向にどれだけの重みで進んでいるか」 を調べたいとする。

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やる夫 何を言ってるかわからんお. やらない夫 フーリエ級数の中からある 1 個の周波数の成分だけ抜き出すと やらない夫 cos の方の音叉は の強さで, sin の方は の強さで叩く必要があったわけだが,それを 1 個の音叉で代替できる.ただし,強さは で,かつタイミングは位相が だけずれるように叩く必要があるわけだ. やる夫 人間業じゃないのには変わりないお. やらない夫 そうだな.でもこれで重要なことが理解できる.フーリエ級数展開ってのは,与えられた信号を複数のサイン波に分解することだった.そのとき,各周波数のサイン波は,それぞれ別個の振幅と初期位相を持っている.sin と cos の和として書くのは,その 1 つの表現方法に過ぎない. やる夫 ということは,もっと直接的に振幅と初期位相をそれぞれ , として, やらない夫 そういうことだ. やる夫 じゃあ何でそう表さないんだお? そうは言われても ,複素数を学んだばかりでまだオイラーの公式に信頼を持てていない場合にはすぐには受け入れにくいかも知れない. 応用範囲は広いので他にも利用できるかと思います。 得られた結果はまさに「三角関数の直交性」と同様である。 計算方法は「三角関数の直交性」と同じことをする。 list-arrow-circle-right li::before,. 以下が矩形波のフーリエ級数近似式です。 さて、もし が周期関数でなくても、これに似た展開ができるだろうか…(次項へ続く)。
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